Eigenvalue 와 Eigenvector

Definition 4.6

square matrix $A \in R^{n \times n}$가 주어졌을 때, 아래의 식을 만족하면 $\lamda \in R$는 engienvalue이고 $x \in R^n/{ 0}$는 eigenvector 이다. 그리고 아래의 식을 eigenvalue equation이라고 한다. Ax=λxAx = \lambda x

아래의 명제들은 모두 동치이다.

  • $\lamdba \in R$ 은 eigenvalue이다.
  • $Ax = \lambda x$ 혹은 $(A -\lambda I)x = 0$의 해가 non-trivialy하다. ($x \in R ^ n / {0}$)
  • $rk(A -\lambda I) < n$: eigenvector x가 non-trivial한 해이므로
  • $det(A -\lambda I) = 0$

Definition 4.7 (collinearity and codirection)

두 vector가 같은 방향인 것을 codirection, 반대인 것을 colinearity라고 정의한다.

Remark: non-uniqueness of eigenvector

  • $c \in R/ {0}$
  • $x \ in R^n$: eigenvector
Acx=cAx=cλx=λ(cx)Acx = cAx = c \lambda x = \lambda (cx)

Theorem 4.8

$\lambda$ 는 characteristic polynomial $p_A(\lambda)$ of A의 해일 때만, eigenvalue이다. pA(λ)=det(A−λI)=0p_A(\lambda) = det(A - \lambda I) = 0

이는 $(A - \lambda I) x = 0$에서 $A - \lambda I$가 0 vector가 아닌 해를 가져야 하기 때문이다.

Definition 4.9

square matrix A가 eigenvalue $\lambda$를 가진다고 가정해보자.

$\lambda$의 algebraric multiplicity는 동일한 eigenvalue와 대응하는 eigenvector의 수이다.

Definition 4.10 (Eigenspace and Eigenspectrum)

  • Eigenspace: 모든 eigenvector들로 span 되는 공간
  • Eigenspectrum: 모든 eigenvalue의 집합

Useful Properties of eigenvalue and eigenvector

  • $A, A^T$는 동일한 eigenvalue를 가지지만, eigenvector는 꼭 그렇지 않다.

  • Ax=λx  ⟺  Ax−λx=0  ⟺  (A−λI)x=0  ⟺  x∈ker(A−λI)Ax = \lambda x \iff Ax - \lambda x = 0 \iff (A - \lambda I) x = 0 \iff x \in ker(A - \lambda I)

  • similar matrices는 모두 동일한 eigenvalue를 가진다. 따라서, linear mapping $\Phi$는 basis 선택과 독립적인 eigenvalue를 가진다고 해석할 수 있다. B=P−1APA=PBP−1B = P^{-1}AP \\ A = PBP^{-1}

    Av=PBP−1v=λv  ⟺  BP−1v=P−1λvAv = PBP^{-1}v = \lambda v \iff BP^{-1}v = P^{-1}\lambda v
  • Symmetric, positive matrix는 항상 실수의 eigenvalue값을 가진다.

Example 4.5

Definition 4.11

$\lambda_i$를 square matrix A의 eigenvalue라고 가정하자. 이때 $\lambda_i$의 geometric multiplicity는 eigenvalue $\lambda_i$와 연관되는 linear independent eigenvector들의 수이다.

따라서, eigenvalue의 algebraric multiplicity는 geometric multiplicity보다 항상 크거나 같다.

Geometric Intuition in Two Dimensions