system of linear equations 정리글
직관적인 개념을 정리할 때, 일반적인 방법은 object 집합을 정의하고 그 object를 조작하는 방법에 대해서 서술하는 것이다. 이런 방법이 바로 ‘algebra’ (대수학)이다. 그 중 linear algebra는 vector에 대한 것이며, vector를 조작하는 것에 대해서 서술한다.
일반적으로 많이 들어본 것은 기하백터(Geometric Vector)일 것이다. 하지만, 이 책에서는 조금 더 일반적인 의미의 vector를 다룬다.
아래의 것들은 모두 vector이다.
- Closure 성질: vector는 vector끼리 더해도 vector이며, scalar 값을 곱해도 vector여야한다.
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Geometric Vector
두 개의 geometric vectors $\vec{x}, \vec{y}$ 를 더해도 여전히 geometric vector이며, scalar값을 곱해도 geometric vector이다.
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Polynomials
다항식끼리 더해도 다항식이며, scalar 값을 곱해도 여전히 다항식이다.
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Audio signals
audio signals는 숫자를 나열하여 표현할 수 있다. 두 개의 audio signal을 합쳐서 다른 audio signal을 만들 수 있으며, 한 audio signal의 scale을 증가시켜도 여전히 audio signal이다.
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Elements of R^n $a, b \in R^n$을 서로 더해도 vector이며, scalar 값을 곱해도 여전히 vector이다.
linear algebra mind map
2.1 Systems of Linear Equations
아래와 같은 문제가 있다고 가정해보자. \begin{equation} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{equation}
- $a_{ij} \in R$, $b_i \in R$
위와 같은 문제는 linear equation으로 쉽게 해결할 수 있다. 위의 식은 아래처럼 나타낼 수 있다. 이는 vector와 scalar의 곱으로 나타낸 것이다. 또한 이를 matrix 형태로 나타낼 수 있다.