Affine subspace

  • $V$: vector space
  • $x_0 \in V$
  • $U \subset V$
L=x0+U={x0+u:u∈U}={v∈V∣∃u∈U:v=x0+u}⊂VL = x_0 + U = \{x_0 + u: u \in U \} = \{v \in V \mid \exists u \in U: v = x_0 + u \} \subset V

L은 affine subspace이며, V의 linear manifold로 불리기도 한다. U는 direction 또는 direction space로 불린다. $x_0$는 supprot point이며, 추후에 hyperplane으로 불리기도 한다.

다음과 같이 두 개의 affine subspace가 있다고 생각해보자.

  • $L = x_0 + U$
  • $\tilde{L} = \tilde{x_0} + \tilde{U}$

다음과 같은 명제가 성립한다.

$L \subset \tilde{L}$ if and only if $U \subset \tilde{U}$ and $x_0 - \tilde{x_0} \in \tilde{U}$

또한 affine subspace는 다음과 같이, U의 basis의 linear combination으로도 나타낼 수 있다.

  • $(b_1, b_2, \cdots, c_n)$ : basis of U
x=x0+b1∗α1+⋯+bkαkx = x_0 + b_1 * \alpha_1 + \cdots + b_k \alpha_k

차원에 따른 affine subspace 명칭

  • One-dimension: line
  • Two-dimension: plane
  • more dimension: hyperplane\

Inhomorgeneous system of linear equations and affine subspaces

  • $A \in R ^{mxn}$, $x \in R^m$, $x \neq 0$

아래의 linear equation의 해는 empty set 혹은 affine subspace(n - rk(A))이다. Aλ=xA \lambda = x

λ1b1+⋯+λnbn=x where (λ1,⋯ ,λn)≠(0,⋯ ,0)\lambda_1 b_1 + \cdots + \lambda_n b_n = x \text{ where } (\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \neq (0, \cdots, 0)

의 해는 hyperplane이다.

Affine mapping

  • two vector space V, W

  • Linear mapping $\Phi$: $V \rightarrow W$ and $a \in W$

  • Φ:V→Wx→a+Φ(x)\Phi:V \rightarrow W \\ x \rightarrow a + \Phi(x)

  • 모든 affine mapping은 linear mapping 과 translation으로 표현할 수 있다.

  • Affine mapping과 Affine mapping의 합성함수는 Affine mapping이다.

  • affine mappings keep the geometric structure invariant. They also pre- serve the dimension and parallelism.