vector의 length는 norm으로 정의할 수 있으며, inner product로 설명할 수 있기도 하다. (하지만, 모든 norm을 inner product로 표현하는 것은 아니다. L1 norm)
∥ x ∥ : = < x , x > \rVert x \rVert:= \sqrt{<x, x>} ∥ x ∥ : = < x , x >
inner product space: $(V, <\cdot, \cdot>)$
∣ < x , y > ∣ ⩽ ∣ x ∣ ∣ y ∣ \rvert <x, y> \rvert \leqslant \rvert x \rvert \rvert y\rvert ∣ < x , y > ∣ ⩽ ∣ x ∣ ∣ y ∣
$x = [1, 1]^T \in R^2$
Inner product: dot product
∥ x ∥ = x T x = 1 + 1 = 2 \rVert x \rVert = \sqrt{x^Tx} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ∥ x ∥ = x T x = 1 + 1 = 2 만약에 다른 inner product를 고른다면?
inner product:
< x , y > = x T [ 1 − 1 2 − 1 2 1 ] y = x 1 y 1 − 1 2 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + x 2 y 2 <x, y> = x^T \begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} y = x_1y_1 - \frac{1}{2}(x_1y_2 + x_2 y_1) + x_2 y_2 < x , y > = x T [ 1 − 2 1 − 2 1 1 ] y = x 1 y 1 − 2 1 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + x 2 y 2
< x , x > = x 1 2 − x 1 x 2 + x 2 2 = 1 − 1 + 1 = 1 = ∣ x ∣ <x, x> = x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = 1 - 1 + 1 = 1 = \rvert x \rvert < x , x > = x 1 2 − x 1 x 2 + x 2 2 = 1 − 1 + 1 = 1 = ∣ x ∣
inner product space: $(V, <\cdot, \cdot>)$
$x, y in V$
d ( x , y ) : = ∥ x − y ∥ = < x − y , x − y > d(x, y) := \rVert x - y \rVert = \sqrt{<x - y, x -y>} d ( x , y ) : = ∥ x − y ∥ = < x − y , x − y > 아래의 D와 같은 mapping을 metric이라고 부르며, d(x,y)는 distance이다.
D : V × V → R ( x , y ) → d ( x , y ) D: V \times V \rightarrow R \\
(x, y) \rightarrow d(x, y) D : V × V → R ( x , y ) → d ( x , y )
distance또한 length와 마찬가지로 norm으로 정의하며, inner product의 개념을 필요로 하지 않는다. 하지만, norm자체가 inner product의 영향을 받는 경우라면, inner product의 선택에 따라서 distance가 변할 수 있다.
d는 positive definite하다.
d ( x , y ) ⩾ 0 ∀ x , y ∈ V d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y d(x,y) \geqslant 0 \ \forall x, y \in V \\ d(x, y) = 0 \iff x = y d ( x , y ) ⩾ 0 ∀ x , y ∈ V d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y
d는 symmetric하다.
d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x, y) = d(y, x) d ( x , y ) = d ( y , x )
Triangle inequality
d ( x , z ) ⩽ d ( x , y ) + d ( y , z ) ∀ x , y , z ∈ V d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z) \ \forall x, y, z \in V d ( x , z ) ⩽ d ( x , y ) + d ( y , z ) ∀ x , y , z ∈ V