시계열 데이터란,

시간에 따라 순차적으로 관측한 데이터이다. 금융, 생체신호 등 다양한 도메인의 영역에서 시계열 데이터를 다루며, 시간 domain에서 데이터를 다룬다.

Frequency Domain

위의 이미지는 여러가지 주기의 신호를 나타낸다. 위의 t는 시간을 나타내고, f는 frequency를 나타낸다. 즉 하나의 시계열 데이터를 time 혹은 fequency domain에서 접근할 수 있다는 것이다.

Remark

  • $T$: 한 주기
f=1Tf = \frac{1}{T}

Fourier Series

Fourier Series는 신호 데이터를 무한개의 주기함수로 나타낸다.

  • $A_n$: $\cos nx$신호의 강도
  • $B_n$: $\sin nx$ 신호의 강도
  • $A_0$:
  • $2T$: 주기
f(x)=A0+∑n=1∞(Ancos⁡nx+Bnsin⁡nx)f(x) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n \cos nx + B_n \sin nx)

위의 식은 어떤 신호 $f(x)$를 여러개의 주기함수로 분해한 것이다. 이제 각 요소에 대해서 살펴보자.

아래는 $A_0$에 대한 수식이다. A0=12T∫−TTf(x)dxA_0 = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}f(x)dx 이에 대해서 수식을 다음과 같이 전개해보면, 쉽게 이해할 수 있다. ∫T−Tf(x)dx=∫−TTA0dx+0=A0×2T\int_{T}^{-T}f(x)dx = \int_{-T}^{T} A_0 d_x + 0 = A_0 \times 2T

$A_n, B_n$은 각 $\frac{n}{2}$주기에 함수와 함수 $f(x)$간의 inner product이다. 해석하자면, 전체신호와 각 주기함수간의 유사도를 나타내며, 전체신호에서 어느정도의 비중을 차지하는지 표현할 수 있다. An=12T∫−TTf(x)cos⁡nxdxA_n = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}f(x) \cos nx dx

Bn=12T∫−TTf(x)sin⁡nxdxB_n = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}f(x) \sin nx dx

$A_n$에 대해서도 다음과 같이 전개해보겠다.

$f(x) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n \cos nx + B_n \sin nx)$ 양변에 $\cos nx$를 곱한뒤 적분을 하겠다. ∫−TTf(x)cos⁡nxdx=∫−TTA0cos⁡nxdx+∫−TT∑i=−∞∞Aicos⁡nxcos⁡ixdx+∫−TT∑i=−∞∞Bisin⁡nxcos⁡ixdx\int_{-T}^{T}f(x) \cos nx dx = \int_{-T}^{T}A_0 \cos nx dx + \int_{-T}^{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} A_i \cos nx \cos ix dx + \int_{-T}^{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} B_i \sin nx \cos ix dx

=∫−TTAn(cos⁡nx)2dx= \int_{-T}^{T}A_n (\cos nx)^2 dx

  • 삼각함수의 직교성에 의하여 서로 다른 주기 함수의 적분 값은 0이 된다.

  • 주기함수를 주기 범위로 적분하면 그 결과는 0이 된다.

    • ∫−TTA0cos⁡nxdx=0\int_{-T}^{T}A_0 \cos nx dx = 0

  • $\int_{-T}^{T} (\cos nx)^2 = 2T$

함수의 내적

함수를 무한차원의 vector처럼 생각하게 되면, vector와 마찬가지로 inner product를 적용할 수 있다.

  • $f(x)$
  • $g(x)$
<f,g>=∫−∞∞f(x)g(x)dx<f, g> = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) dx

삼각함수의 직교성

서로 다른 주기함수는 서로 직교한다. ∫02πsin⁡nxcos⁡mxdx=∫02π12(sin⁡(n+m)x+sin⁡(n−m)x)dx\int_{0}^{2\pi} \sin nx \cos mx dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(\sin(n+m) x + \sin(n -m)x) dx

Fourier Transform

fourier series에서는 주기신호를 주기신호들로 분해했다. 그렇다면, 비주기의 신호는 어떻게 처리할 수 있을까?

우선, 주기신호와 비주기 신호는 수학적으로 어떻게 나타낼 수 있을까?

우선 주기신호는 T의 주기를 가진다. 비주기 신호는 무한대의 주기를 가지는 신호라고 볼 수 있다.

주기가 무한대인 주기함수 = 비주기함수

주기가 무한대일 때, $A_n$은?

An=lim⁡T→∞1T∫−T2T2f(x)cos⁡nxdxA_n = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos nx dx

$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos nx dx$은 수렴하므로, $A_n$은 0에 수렴한다.

주기가 무한대일 때, $T A_n$은?

TAn=lim⁡T→∞∫−T2T2f(x)cos⁡nxdxT A_n = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos nx dx

0이 아닌 값에 수렴한다.

유도과정

  • 주기: $T$
TAn=∫−T2T2fT(x)ne−jw0tdxT A_n = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(x)_n e^{-jw_0t} dx

T가 무한대로 간다면? 다음과 같이 치환할 수 있습니다. fT(x)≜f(x)f_T(x) \triangleq f(x) {\}

AnT≜X(nw0),w0=2πTA_nT \triangleq X(nw_0), w_0 = \frac{2\pi}{T} nw0≜wnw_0 \triangleq w

이를 바탕으로 위의 식을 다시 작성해보면, X(w)=∫−∞∞f(x)e−jwtdtX(w) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-jwt} dt

$X(w)$는 주파수 도메인의 입력을 받게 됩니다. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-jwt} dt$는 시간도메인의 함수를 적분을 통하여 주파수 도메인의 함수로 바꿉니다.

그렇다면, 주파수 도메인에서 시간 도메인으로는 어떻게 변환할까? f(x)=12π∫−∞∞X(w)e−jwtdtf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(w)e^{-jwt} dt

위와 같이, 주파수 도메인의 함수를 주파수를 기준으로 적분하면, 시간 도메인의 함수가 된다.

Reference

[1] 헥펜파임